按柯西收敛准则叙述数列{a_n}发散的条件,并用它证明下列数列{a_n}是发散的:

按柯西收敛准则叙述数列发散的充要条件,并用它证明下列数列是发散的:

应用柯西收敛准则,证明以下数列收敛:

证明:若级数收敛,且有数列{b_n}满足有则级数收敛.(应用2.2练习题第20题的结果(数列{b_n}收敛)和柯西收敛准则,它是阿贝尔判别法的推广.)

写出极限存在的柯西收敛准则及其否定叙述,并证明:

用三种形式叙述不存在:

1)用定义;

2)用海涅定理;

3)用柯西收敛准则.

证明:若级数收敛,且

a_n≤c_n≤b_n,n=1,2,...,

则级数也收敛.(应用级数的柯西收敛准则)

证明:若瑕积分收敛,且当x→0+时函数f(x)单调趋向于+∞,则(用柯西收敛准则)

关于正项级数还有如下的柯西积分审敛法.

对于正项级数如果有区间[1,+∞)上的连续的单调减少函数f(x)适合

则级数与反常积分同时收敛或发散.

(1)试用关于正项级数的基本定理证明该判别法;

(2)试证当级数收敛时,其n项后的余项

(3)利用柯西积分判别法讨论级数的收敛性.

(1)叙述极限的柯西准则.

(2)根据柯西准则叙述不存在的充要条件,并应用它证明不存在.

如果数列{a_n}收敛，数列{b_n}发散，那么数列{a_nb_n}是否一定发散？如果数列{a_n}和{b_n}都发散，那么数列{a_n，b_n}的收敛性又怎样？