设{u_n}（x)为[a,b]上正的递减且收敛于零的函数列,每个u_n（x)都是[a,b]上的单调函数.则

设A为Hilbert空间H上的非零紧算子。求证：存在有限或无限单调下降的正数列{α_n}，存在H的标准正交序列{u_n}和{v_n}使得

， z∈H， (6)

， x∈H。 (7)

设级数的各项u_n＞0，n=1，2，…{v_n}为一正实数列，记

若，且a为有限正数或正无穷大,证明收敛

设f(x)在[0，1]上连续且递减，试证：当0＜λ＜1时，．

设函数f(x)对于闭区间[a，b]上的任意两点x，y，恒有|f(x)-f(y)|≤L|x-y|，其中L为正常数，且f(a)·f(b)＜0．证明：至少有一点m∈(a，b)，使得f(m)=0.

设函数f(x)对于闭区间[a，b]上任意两点x、y，恒有|f(x)-f(y)|≤L|x-y|，其中L为正常数，且f(a)·f(b)＜0． 证明：至少有一点ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=0．

设μ是X上的正测度，f_n∈L^p(μ)(n∈)，且‖f_n-f‖_p→0，证明，这里1≤p≤∞；并研究此命题的逆命题是否为真．

设f(x)在[0,1]上连续且单调递减,则函数在(0,1)内().

A.单调增加

B.单调减少

C.有极大值

D.有极小值

设正数列u_n单调减少，且级数发散，试问级数是否收敛？

设H为可分Hilbert空间，{u_n}为H的标准正交基，{k_n}为有界纯量列求证：

， x∈H

定义了H上的正规算子[这样的算子被称为[＜strong＞对角算子＜/strong＞]]。求A的特征值和谱。

设μ是X上的正测度，μ(X)＜∞，f∈L^∞(μ)，‖f‖_∞＞0，且．证明

设函数f(x)在[a，b]上连续、可导且f(a)=0，若存在正常数k，使得|f'(x)|≤k|f(x)|证明：在[a，b]上f(x)恒等于零。