设R是实数集合，R上的二元运算定义为ab=a+b-1，定义为ab=a+b-a×b。证明（R，，)是域。

设R是实数集，R上的二元运算*定义为：a*b=a+b+ab。

R为实数集，定义以下6个函数f₁，f₂，...，f₆，x，y∈R有

那么，其中有个是R上的二元运算，有个是可交换的，个是可结合的，个是有幺元

的，个是有零元的。

R为实数集,定义以下6个函数f₁,f₂,f₃,f₄,f₅,f₆,对任意x,y∈R有

y|.请指出哪些函数是二元运算,哪些函数是可交换的,哪些函数是可结合的,关于哪些函数有幺元,关于哪些函数有零元,关于哪些函数有逆元.

检验下列集合对指定的加法和数量乘法运算,是否构成实数域上的线性空间:

(1)全体n阶正交矩阵,对矩阵的加法和数量乘法;

(2)平面上全体向量,对通常的向量加法和如下定义的数量乘法k·a=0其中k∈R，a为任意的平面向量,0为零向量.

(3)全体正实数R⁺,加法与数量乘法定义为

其中a,b∈R⁺,k∈R.

设I是整数集合，I上的二元运算*定义为：a*b=ab+2(a+b+1)，证明代数系统(I，*)是半群。

A.f(a)=-a

B.f(a)=a^n

C.f(a,b)=a+b+1

D.f(a,b,c)=abc

A.实数集R和数的加法运算“+”

B.自然数集 N和数的减法运算“ -”

C.集合A的幂集P(A)和集合的并、交运算

D.n×n实矩阵的全体组成的集合和矩阵的加法运算“+”

A.（0，2）

B.（－2，1）

C.（－∞，－2）∪（1，＋∞）

D.（－1，2）

设R是实数域，在R上定义距离

ρ₂(x，y)=|e^x-e^y|，

则R按ρ₂是一个距离空间但不完备。