设A为Hilbert空间H上的酉算子,设σ(A)及W(A)分别为A的谱及数值域。求证: (a) (b)
设A为Hilbert空间H上的酉算子,设σ(A)及W(A)分别为A的谱及数值域。求证:
(a)
(b)
设A为Hilbert空间H上的酉算子,设σ(A)及W(A)分别为A的谱及数值域。求证:
(a)
(b)
第1题
设H为Hilbert空间,A∈BL(H),W(A)为A的数值域。求证:
(a)W(A)=ω(UAU-1),其中U为H上的酉算子
(b)若W(A)至少含有两个点,则W(A)的导集为W(A)
第2题
设H为复Hilbert空间,W为所有BL(H)中自伴算子之集,W1为BL(H)中所有酉算子B之集使得。若A∈W,记
U(A)=(A-iI)(A+iI)1
求证:U为从W到W1的一一映射,其逆由下式给出:
U-1(B)=i(I+B)(I-B)-1, B∈W1
[U(A)被称为A的Cayley变换。]
第3题
设A为Hilbert空间H上的紧算子,{un}为H的无穷标准正交序列,求证:在H中有Aun→0
第4题
设H为复Hilbert空间,A为H上的正规算子。求证:若σ(A)={0},则A=0。证明这在下述情形下均不成立:
(i)A不为正规的。
(ii)H为实Hilbert空间。
第5题
设A为Hilbert空间H上的紧算子。求证:若A与AA*可交换,则A为正规算子,且当A不为紧算子时,这个结论一般不成立。
第6题
设A为有限维复Hilbert空间,A为H上的正规算子,求证:A*=p(A),其中P为某一复系数多项式。由此推出若算子B与A可交换,则B也与A*可交换。
第7题
设H为可分Hilbert空间,{un}为H的标准正交基,{kn}为有界纯量列求证:
, x∈H
定义了H上的正规算子[这样的算子被称为[<strong>对角算子</strong>]]。求A的特征值和谱。
第8题
设A为Hilbert空间H上的非零紧算子。求证:存在有限或无限单调下降的正数列{αn},存在H的标准正交序列{un}和{vn}使得
, z∈H, (6)
, x∈H。 (7)
第10题
设{un:α∈L}为Hilbert空间H的标准正交基。设A∈BL(H)使得
(11)
求证:
(a)
(b)若{vi:i∈J}为H的另一标准正交基,则
(c)A为紧算子。
[使(11)成立的算子称为Hilbert-Schmidt算子。]