设H(p)是线性不变系统的传输算子,且系统起始状态为零,试证明:

设T是Hilbert空间H中的稠定线性算子，证明D(T^*)={θ}当且仅当T的图像G(T)在H×H中稠

设S和T是Hilbert空间H中使得ST在H中稠定的线性算子．证明(ST)^*T^*S^*；若D(S)=H且S是有界的，证明(ST)^*=T^*S^*．

设H(e^jω)是因果线性时不变系统的传输函数，它的单位脉冲响应是实序列，已知H(e^jω)的实部为

求系统的单位脉冲响应h(n)。

设均值为零、方差为σ²的白噪声序列x(n)作用于一个传输函数为

h(n)

的线性移不变因果系统，得到输出随机信号y(n)。

设A为有限维复Hilbert空间，A为H上的正规算子，求证：A^*=p(A)，其中P为某一复系数多项式。由此推出若算子B与A可交换，则B也与A^*可交换。

设时域离散线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入激励信号x(n) 分别为

设线性时不变系统的系统函数H(z)为

(1)在z平面上用几何法证明该系统是全通网络，即｜H(ejω)｜=常数； (2)参数α如何取值，才能使系统因果稳定？画出其极零点分布及收敛域。

设H是Hilbert空间，T：D(T)H→H是自共轭算子，U是T的Cayley变换，假定T^-1存在且是稠定的，证明T^-1的Cayley变换是-U^-1．

设H为复Hilbert空间，为正算子．证明：AB为正算子当且仅当AB=BA.

设两个线性移不变系统h₁(n)和h₂(n)级联后的总冲激响应h(n)为单位取样序列，即h(n)=δ(n)。已知h₁(n)=δ(n)-0.5δ(n-5)，求h₂(n)及其12点离散傅里叶变换。

设X，Y为内积空间，F：X→Y为线性算子。求证：任取x∈X有

‖F(x)‖=‖x‖ (23)

当且仅当任取x₁，x₂∈X有

＜F(x₁)，F(x₂)＞=＜x₁，x₂＞。 (24)